前言
前面主要是讲反向传播和梯度下降的方法，那么其实涉及梯度的机器学习方法并不是只有深度学习一种，逻辑回归也是可以利用梯度的信息进行参数的更新，使得模型逐步满足我们的数据要求。注意，逻辑回归输出的是属于某一种类别的概率，利用阈值的控制来进行判别，因此逻辑回归本质上是一种分类方法。
一、逻辑斯蒂回归
逻辑斯蒂回归（logistic regression，下面简称逻辑回归），是一种十分经典的分类方法。我们首先介绍一下逻辑回归的定义。
假设我们有一个数据集 \(S\)，一共包含\(m\)个样本数据，即： \(S = \{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_m，y_m)\}\)，其中，\(y_i \in \{0, 1\}\)。为了表示的方便，我们不妨设当\(y_i = 1\)时为正样本，当\(y_i = 0\)时为负样本，当然，反过来也是可以的，这个并不重要，只不过一般习惯这样表达。
在SVM中，我们根据数据集的分布，求解出了一个二分的超平面 \(f(x) = \omega \cdot x+b\)，现在我们要对一个新的样本点\(x_0\)进行分类预测，需要将这个样本点带入上面的超平面公式。当\(f(x_0) = \omega \cdot x_0 + b > 0\)时，我们将这个样本点标记为1，当\(f(x_0) = \omega \cdot x_0 + b \leq 0\)时，我们将这个样本点标记为-1。观察到SVM只能对新样本输出 \(\pm1\)，无法较为准确的输出样本属于每一个类别的概率究竟是多少。SVM结果的正确性在于它保证了找到的是样本间隔最大的那个超平面，这样就可以保证以最高的精确度区分新的样本。然而SVM却无法对一个新样本的概率进行求解。而这就是逻辑回归主要做的事情，它输出的是一个概率值，当这个概率值大于一定的阈值时，样本标记为1，反之则标记为0。
二、sigmoid函数
熟悉深度学习的人肯定对这个函数非常了解，它是早期深度学习网络经常使用的激活函数之一。它的定义公式如下： \[ sigmoid(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} \quad x \in R \] 它的函数图像是一个典型的S型曲线，定义域是全体实数。我们根据公式可以发现，这个函数将全体实数映射到了 \((0, 1)\) 区间上，并在这个区间上单调递增，\(x\)越大，函数值越大。而这正好符合我们需要的概率分布的规律。
三、逻辑回归模型
二项逻辑回归模型本质上是一个类似下面公式的条件分布： \[ P(Y = 1 | x) = \frac{1}{1 + e^{-(\omega \cdot x + b)}} \tag{1} \]
\[ P(Y = 0 | x) = 1 - \frac{1}{1 + e^{-(\omega \cdot x + b)}} \tag{2} \]
其中，第一个式子是我们需要重点关注的。我们对第一个式子右边的分数，上下同时乘以 \(e^{\omega \cdot x + b}\)，得到： \[ P(Y = 1 | x) = \frac{e^{\omega \cdot x + b}}{1 + e^{\omega \cdot x + b}} \tag{3} \] 以上就是我们经常可以看到的逻辑回归的公式了。
现在我们将偏置量也放进参数 \(\omega\)中，所以变量\(x\)的尾部会增加一个多余的维度1来和偏置量进行匹配，于是，我们有如下的表示方式： \[ \omega = \begin{bmatrix} \omega_1 & \omega_2 & \cdots & \omega_n & b\end{bmatrix} \]
\[ x = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n & 1\end{bmatrix} \]
于是，原逻辑回归公式可以有以下的表达： \[ P(Y = 1 | x) = \frac{e^{\omega \cdot x}}{1 + e^{\omega \cdot x}} \tag{4} \]
四、损失函数
很容易想到，损失函数我们仍然可以使用前面介绍的差方和的方法计算。当距离目标越近时，差方和越小，损失就会越小。事实上并不能这样进行处理。 \[ J(\omega, b) = \sum_i( \frac{1}{1 + e^{-(\omega \cdot x_i)}} - y_i)^2 = \sum_i (\frac{e^{\omega \cdot x}}{1 + e^{\omega \cdot x}} - y_i) ^2\tag{4} \] 原因是如果使用差方和作为最后的损失函数，那么我们得到的最后的损失函数并不是一个简单的凹函数（或者凸函数），这个函数存在许多的局部极小值，因此很难通过梯度下降的方法收敛到全局最小值附近，这样导致的结果就是训练出来的模型并不能很好的满足我们的需要，误差较大。
所以我们必须要重新定义一个满足我们条件的损失函数，或者称为目标函数。我们考虑使用极大似然估计的方法进行参数估计。
对于其中的某一个样本，如果该样本的标签为1，那么我们需要极大化\(P(Y = 1|x)\)，如果该样本的标签为0，那么我们需要极大化\(1 - P(Y = 1|x)\)，于是对于每一个样本数据，综合来看，我们只需要极大化以下的式子即可： \[ P(Y = 1|x_i)^{y_i} (1 - P(Y= 1|x_i))^{1 - y_i} \] 上面的式子看起来很吓人，其实本质很简单。于是我们的似然函数可以表示为 \[ L(\omega) = \prod_i P(Y = 1|x_i)^{y_i} (1 - P(Y= 1|x_i))^{1 - y_i} \tag{5} \] 由于这里涉及指数，而且是连乘运算，计算不方便，于是我们可以用取对数的方式进行处理，这里可以这样处理的原因是上式取最大的时候，其对数也一定是取最大值，因为对数函数是一个单调函数。于是有： \[ log L(\omega) = \sum_i y_i log(P(Y = 1|x_i)) + (1 - y_i) log(1 - P(Y = 1|x_i)) \tag{6} \] 现在我们可以将之前的计算结果带入到公式(6)中进行化简： \[ \begin{aligned} logL(\omega) &= \sum_i y_i log(P(Y = 1|x_i)) + (1 - y_i) log(1 - P(Y = 1|x_i)) \\ &= \sum_i y_i log(\frac{e^{\omega \cdot x_i}}{1 + e^{\omega \cdot x_i}}) + (1 - y_i) log(1 - \frac{e^{\omega \cdot x_i}}{1 + e^{\omega \cdot x_i}}) \\ &= \sum_i y_i log(\frac{e^{\omega \cdot x_i}}{1 + e^{\omega \cdot x_i}}) + (1 - y_i) log( \frac{1}{1 + e^{\omega \cdot x_i}}) \\ &= \sum_i y_i log(\frac{e^{\omega \cdot x_i}}{1 + e^{\omega \cdot x_i}}) + log( \frac{1}{1 + e^{\omega \cdot x_i}}) - y_i log(\frac{1}{1 + e^{\omega \cdot x_i}}) \\ &= \sum_i y_i (log(\frac{e^{\omega \cdot x_i}}{1 + e^{\omega \cdot x_i}}) - log(\frac{1}{1 + e^{\omega \cdot x_i}})) + log(\frac{1}{1 + e^{\omega \cdot x_i}}) \\ &= \sum_i y_i log(e^{\omega \cdot x_i}) - log(1 + e^{\omega \cdot x_i}) \\ &= \sum_i y_i \omega \cdot x_i - log(1 + e^{\omega \cdot x_i}) \end{aligned} \tag{7} \] 于是我们需要的似然函数就变成了： \[ logL(\omega) = \sum_i y_i \omega \cdot x_i - log(1 + e^{\omega \cdot x_i}) \tag{8} \] 上面的似然函数并不能直接进行最优化求解，于是我们常常利用梯度下降的方法进行逐步迭代求解，这就需要对上面的公式进行求导的操作，我们对参数\(\omega\)求导如下： \[ \begin{aligned} \frac{\partial logL(\omega)}{\partial \omega} &= \sum_i y_i x_i - \frac{1}{1+e^{\omega \cdot x_i}} e^{\omega \cdot x_i} x_i \\ &= \sum_i y_i x_i - \frac{e^{\omega \cdot x_i} x_i}{1+e^{\omega \cdot x_i}} \end{aligned} \tag{9} \] 以上就是利用梯度下降算法进行逻辑回归问题的求解的（偏）导数计算公式，在每一轮的迭代过程中，我们对所有的样本进行梯度计算，最后累加梯度，然后按照计算出的梯度信息更新需要的参数。
由于我们这里需要将似然函数极大化，因此和反向传播的梯度下降不同，这里使用的是类似的梯度上升的方法，于是我们有如下的迭代公式：这里的\(\alpha\)指的是学习率（或者说是步长信息） \[ \omega := \omega + \alpha \frac{\partial logL(\omega)}{\partial \omega} \tag{10} \]
五、关于逻辑回归的似然函数
在利用不同的方式计算损失函数时，我们总是希望得到的损失函数时一个凸函数（或者凹函数），这样我们就可以保证只有一个全局的最优解，而且不存在局部极小值或者极大值，而这些条件都对我们使用梯度下降方法来求解最优化问题十分有利。如果一个函数的二阶导数总是恒大于0，我们称这个函数为凸函数，如果一个函数的二阶导数总是恒小于0，我们称这个函数为凹函数，凸函数一定存在一个全局最小值，凹函数一定存在一个全局最大值，并且不管是凹函数还是凸函数都不存在局部极小值或者局部最大值。
我们以\(y = x^2\)为例，经过计算我们得到它的二阶导数为\(y\prime\prime = 2\)，是一个大于0的常数，因此该函数是一个凸函数，其不存在各种局部最小值或者局部最大值，只有一个全局最小值0（当然这个全局最小值也可以看作是一个某一个区域内的局部最小值）。
现在我们重新审视一下我们的似然函数，之前我们已经求解出了似然函数的梯度信息（一阶导数），即： \[ \frac{\partial logL(\omega)}{\partial \omega} = \sum_i y_i x_i - \frac{e^{\omega \cdot x_i} x_i}{1+e^{\omega \cdot x_i}} \tag{11} \] 我们继续对上式进行求导的操作，有： \[ \begin{aligned} \frac{\partial^2 logL(\omega)}{\partial \omega^2} &= \sum_i - x_i \frac{e^{\omega \cdot x_i} x_i (1 + e^{e^{\omega \cdot x_i}}) - e^{\omega \cdot x_i}(e^{\omega \cdot x_i} x_i)}{(1 + e^{\omega \cdot x_i})^2} \\ &= \sum_i - x_i \frac{e^{\omega \cdot x_i} x_i}{(1 + e^{\omega \cdot x_i})^2} \\ &= \sum_i - \frac{e^{\omega \cdot x_i}}{(1 + e^{\omega \cdot x_i})^2} x_i \cdot x_i \end{aligned} \tag{12} \] 可以发现的是，上式对于任何的一个数据集合来说都是恒小于0的，因此可以说当我们使用极大似然估计作为损失函数时，该函数是一个凹函数，有一个最大值，可以利用梯度下降（严格来说这个应该是梯度上升的方法）进行求解。
通常，当我们求解出最终的参数时，可以获得一个超平面。往往我们将逻辑回归的阈值设置为0.5，将输出值高于0.5的样本标记为正样本，将输出值低于0.5的样本标记为负样本，于是，我们可以得到分类的超平面为： \[ \frac{1}{1 + e^{\omega \cdot x}} = \frac{1}{2} \tag{13} \] 化简之后，我们可以得到最终的超平面的表达式为： \[ \omega \cdot x = 0 \tag{14} \]
六，代码
这里的数据使用的是《机器学习实战》的数据，一共有100组数据：
1 | -0.017612 14.053064 0 |
前两列为数据，最后一列为对应数据的标签。
代码如下：
1 | import matplotlib.pyplot as plt |
代码运行结果如下，其中黄色直线表示的是初始的分隔超平面，绿色的直线表示为分类超平面，可以看出，样本数据可以较好地被分隔开，第二幅图表示的是梯度上升的情况，可以看到，算法可以较好地收敛于全局最优解附近： 
