一、PCA
在之前讲述过如何使用PCA以及背后的基本的几何原理。但是并没有给出详细的数学推导，因此，在这里补上PCA的详细数学推导过程。
二、预备知识
1. 矩阵的特征值分解
这一部分是线性代数的基本内容。
2. Frobenius 范数
在线性代数中会有很有的范数来进行约束，Frobenius范数就是其中之一，它的定义十分简单，就是对矩阵中的每个元素进行平方，再进行求和，最后对计算得到的和进行开方。Frobenius范数通常记作\(||A||_F\)，用公式表达如下：
\[
Frobenius(A) = ||A||_F = \sqrt{\sum_i\sum_j A_{i, j}^2} \tag{1}
\] 其中，\(A\)表示一个矩阵，\(A_{i, j}\)表示的是矩阵中第\(i\)行第\(j\)列的元素。
如果将矩阵是做一个多维空间中的一个点的话，那么Frobenius范数就代表这个点和原点之间的距离。
3. 矩阵的迹（Trace）
在线性代数中，还有一个十分朴素但却十分重要的概念就是矩阵的迹（Trace），它表示的是矩阵的对角线上的元素的和， 记作\(Tr(A)\)，用公式表达如下：
\[
Tr(A) = \sum_i A_{i, i} \tag{2}
\]
矩阵的迹（trace）有时候可以简化矩阵的计算，在线性代数中有很重要的用处。
4.矩阵的迹（trace）和Frobenius范数的关系
在《深度学习》（中文版）（即有人称之为“花书”）中，第29页给出了一个公式：
\[
||A||_F = \sqrt{Tr(AA^T)} \tag{3}
\] 在这里，我们简单证明一下。
假设我们的矩阵\(A\)可以表示为列向量的集合，即：
\[
A = \begin{bmatrix}
\vec{a_1}& \vec{a_2}& \cdots& \vec{a_n}
\end{bmatrix}
\] 其中，每一项都是一个长度\(m\)的列向量，即\(\vec{a_i} \in \Bbb{R^m}\)。所以\(A \in \Bbb{R^{m \times n}}\)。
有上面的表示法，我们可以得到\(A^T\)，\(A^T \in \Bbb{R^{n \times m}}\)：
\[
A^T = \begin{bmatrix} \vec{a_1}^T \\ \vec{a_2}^T \\ \vdots \\ \vec{a_n}^T \end{bmatrix}
\] 于是我们可以得到：
\[
\begin{aligned}
A^T \cdot A=&\begin{bmatrix}
\vec{a_1}^T \\
\vec{a_2}^T \\
\vdots \\
\vec{a_n}^T
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
\vec{a_1}& \vec{a_2}& \cdots& \vec{a_n}
\end{bmatrix} \\
=& \begin{bmatrix}
\vec{a_1}^T \cdot \vec{a_1}& \vec{a_1}^T \cdot \vec{a_2}& \cdots& \vec{a_1}^T \cdot \vec{a_n} \\
\vec{a_2}^T \cdot \vec{a_1}& \vec{a_2}^T \cdot \vec{a_2}& \cdots& \vec{a_2}^T \cdot \vec{a_n} \\
\vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\
\vec{a_n}^T \cdot \vec{a_1}& \vec{a_n}^T \cdot \vec{a_2}& \cdots& \vec{a_n}^T \cdot \vec{a_n}
\end{bmatrix}
\end{aligned} \tag{4}
\] 所以：
\[
Tr(A^TA) = \sum_{i=1}^n \vec{a_i}^T \cdot \vec{a_i} \tag{5}
\] 我们考察其中的某一个\(\vec{a_i}^T \cdot \vec{a_i}\)。由于\(\vec{a_i}\)表示的是长度为\(m\)的列向量，表示的是矩阵\(A\)的第\(i\)列，因此，我们有：
\[
\begin{aligned}
\vec{a_i}^T \cdot \vec{a_i} &=\begin{bmatrix} A_{1, i} \\ A_{2, i} \\ \vdots \\ A_{m, i} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} A_{1, i} & A_{2, i}& \cdots & A_{m, i} \end{bmatrix} \\
&= \sum_{k = 1}^m A_{k, i} ^2
\end{aligned} \tag{6}
\]
将\(\vec{a_i}^T \cdot \vec{a_i} =\sum_{k = 1}^m A_{k, i} ^2\)代入式子（5），有：
\[
\begin{aligned}
Tr(A^TA) &= \sum_{i=1}^n \vec{a_i}^T \cdot \vec{a_i} \\
&= \sum_{i= 1}^n \sum_{k = 1}^m A_{k, i}^2 \\
&= \sum_{i= 1}^n \sum_{j = 1}^m A_{j, i}^2 \\
&= \sum_{j = 1}^m \sum_{i= 1}^n A_{j, i}^2 \\
&= ||A||_F^2
\end{aligned} \tag{7}
\] 考虑到对于一个矩阵，有：\(Tr(A^T A) = Tr(A A^T)\)，故：
\[
||A||_F = \sqrt{Tr(A^T A)} = \sqrt{Tr(A A^T)} \tag{8}
\] 命题得证。
三、详细推导过程
1. 编码和解码
在之前也讲述过PCA的求解过程，甚至也进行了代码的编写，但是并没有给出严格的数学证明，只是从感性上进行理解，即挑选若干个坐标的基，使得每个基上的样本的方差尽可能大，从而达到数据降维的目的。假设我们的每一个样本点都是一个列向量，长度为\(n\)，不妨记作\(x_i\)，\(x_i \in \Bbb{R^n}\)。一共收集到了\(m\)个样本数据，则这些矩阵可以组成我们的样本矩阵\(A\)，如下：
\[
A = \begin{bmatrix}x_0 & x_1 & \cdots & x_m \end{bmatrix}, A \in \Bbb{R^{n \times m }}
\] 按照之前的说明，我们求解\(\Sigma= AA^T\)，\(\Sigma\)表示的是样本矩阵的协方差矩阵，接着我们对该协方差矩阵进行特征分解，会产生\(n\)个特征值，我们选择较大的若干个特征值，并选择对应的特征向量，组成一个对应的变换矩阵\(S\)，然后对数据矩阵应用这个变换矩阵，有\(R = A S^T\)，则这个\(R\)矩阵就是我们最后求得的结果，这个结果会存在一定的精度损失，不过一般可以忽略不记。
如果我们此时在矩阵的右侧重新乘以变换矩阵\(S\)，则结果会还原成我们的原始的数据矩阵，即： \[ RS = AS^T S = A \] 从上面的过程中可以看出，我们完全可以将PCA看作一个线性的编码和解码的过程，因此，我们所需要的就是求解编码和解码的矩阵信息。
2.编码矩阵和解码矩阵的关系
现在开始，让我们从头开始推导PCA的相关公式。根据我们的经验，线性变换是所有变换中最简单的，因此我们就从最简单的线性变换开始。
假设我们的数据矩阵依旧表示成上面的形式，如果我们收集数据维度太多，不便于进一步分析，我们希望可以对数据进行一定的线性压缩，这种压缩是可逆的，存在一个解码矩阵可以将数据还原成原始的数据。
我们考虑其中的一个数据向量\(x_i\)，\(x_i \in \Bbb{R^m}\)。编码压缩之后的数据向量为\(c_i\)，\(c_i \in \Bbb{R^l}\)，其中\(l < m\)。我们可以将这个编码过程表示成一个函数，即\(f(x_i) = c_i\)。同时也可以将解码函数表示成一个函数，即\(g(c_i)=x_i\)，我们定义解码矩阵为\(D\)，\(D \in \Bbb{R^{l \times m}}\)即有$g(c_i) = D ; c_i $那么下一步我们就是需要找解码矩阵和加码矩阵的关系。
